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首頁(yè)　經(jīng)部　史部　子部　集部　專題　今人新著

提要

　　《緝古算經(jīng)》一卷，唐王孝通撰。其結(jié)銜稱通直郎太史丞。其始末未詳。惟《舊唐書(shū)·律歷志》“戊寅歷”條下有武德九年校歷人算歷博士臣王孝通題，蓋即其人也。是書(shū)一名《緝古算術(shù)》，《唐書(shū)·藝文志》、《崇文總目》俱稱李淳風(fēng)注。今案此本卷首實(shí)題孝通撰并注，則《唐志》及《總目》為誤。又《宋志》作一卷，《唐志》、鄭樵《藝文略》俱作四卷，王應(yīng)麟《玉�！分^今亡其三。案《孝通原表》稱二十術(shù)，檢勘書(shū)內(nèi)條目相同，并無(wú)闕佚，不知應(yīng)麟何所據(jù)而云然也。書(shū)中大旨，以《九章·商功篇》有平地役功受袤之術(shù)，其於上寬下狹窄，前高後卑，闕而不論，世人多不達(dá)其理。因于平地之余，續(xù)狹斜之法。凡推朔夜半時(shí)月之所離者一術(shù)，推仰觀臺(tái)及羨道高廣袤者一術(shù)，推筑堤授工上下廣及高袤不同者一術(shù)，推筑龍尾堤者一術(shù)，推穿河授工斜正袤上廣及深并漘上廣不同者一術(shù)，推四郡輸粟窖上下廣袤馀郡別出入及窖深廣者一術(shù)，推亭倉(cāng)上下方高者一術(shù)，推芻薨、圓囤者各一術(shù)，推方倉(cāng)圓窖對(duì)待者五術(shù)，推勾股邊積互求者六術(shù)，共合二十術(shù)之?dāng)?shù)。中間每以人戶道里，大小遠(yuǎn)近，及材物之輕重，工作之時(shí)日，乘除進(jìn)退，參伍以得其法。頗不以深淺為次第，故讀者或不能驟通。而卒篇以後，由源竟委，端緒足尋，洵為思極毫芒，曲盡事理。唐代明算立學(xué)，習(xí)此書(shū)者以三年為限，亦知其術(shù)之精妙，非旦夕所克竟其義矣。其書(shū)世罕流播，此乃宋元豐七年秘書(shū)監(jiān)趙彥若等校定刊行舊本，常熟毛�盏弥�章邱李氏，而影抄傳之者。今詳加勘正，其文間有脫闕，不敢妄補(bǔ)。謹(jǐn)撮取其義，別加圖說(shuō)，附諸本文之左，以便觀覽云。 

上輯古算經(jīng)表

　　臣孝通言：臣聞九疇載敘，紀(jì)法著于彝倫；六藝成功，數(shù)術(shù)參于造化。夫?yàn)榫�上者，司牧黔首，布神道而設(shè)教，采能事而經(jīng)綸，盡性窮源，莫重于算。昔周公制禮，有九數(shù)之名。竊尋九數(shù)，即《九章》是也。其理幽而微，其形秘而約，重句聊用測(cè)海，寸木可以量天，非宇宙之至精，其孰能與于此者？漢代張蒼刪補(bǔ)殘缺，校其條目，頗與古術(shù)不同。魏朝劉徽篤好斯言，博綜纖隱，更為之注�；账紭O毫芒，觸類增長(zhǎng)，乃造重差之法，列于終篇。雖即未為司南，然亦一時(shí)獨(dú)步。自茲厥后，不斷前蹤。賀循、徐岳之徒，王彪、甄鸞之輩，會(huì)通之?dāng)?shù)無(wú)聞焉耳。但舊經(jīng)殘駁，尚有闕漏，自劉已下，更不足言。其祖�骱阒�《綴術(shù)》，時(shí)人稱之精妙，曾不覺(jué)方邑進(jìn)行之術(shù)，全錯(cuò)不通；芻亭方亭之問(wèn)，于理未盡。臣今更作新術(shù)，于此附伸。臣長(zhǎng)自閭閻，少小學(xué)算。鐫磨愚鈍，迄將皓首。鉆尋秘奧，曲盡無(wú)遺。代乏知音，終成寡和。伏蒙圣朝收拾，用臣為太史丞，比年已來(lái)，奉敕�？备等示鶜v，凡駁正術(shù)錯(cuò)三十余道，即付太史施行。伏尋《九章·商功篇》有平地役功受袤之術(shù)，至于上寬下狹、前高后卑，正經(jīng)之內(nèi)，闕而不論，致使今代之人不達(dá)深理，就平正之門，同欹邪之用。斯乃圓孔方柄，如何可安？臣晝思夜想，臨書(shū)浩嘆，恐一旦瞑目，將來(lái)莫睹，遂于平地之余，續(xù)狹斜之法，凡二十術(shù)，名曰《緝古》。請(qǐng)?jiān)L能算之人，考論得失，如有排其一字，臣欲謝以千金。輕用陳聞，伏深戰(zhàn)悚。謹(jǐn)言。 

緝古算經(jīng)

　　假今天正十一月朔夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章歲為母，朔月行定分九千，朔日定小余一萬(wàn)，日法二萬(wàn)，章歲七百，亦名行分法。今不取加時(shí)日度。問(wèn)：天正朔夜半之時(shí)月在何處？（推朔夜半月度，舊術(shù)要須加時(shí)日度。自古先儒雖復(fù)修撰改制，意見(jiàn)甚眾，并未得算妙，有理不盡，考校尤難。臣每日夜思量，常以此理屈滯，恐后代無(wú)人知者。今奉敕造歷，因即改制，為此新術(shù)。舊推日度之術(shù)，巳得朔夜半日度，仍須更求加時(shí)日度，然知月處。臣今作新術(shù)，但得朔夜半日度，不須加時(shí)日度，即知月處。此新術(shù)比于舊術(shù)，一年之中十二倍省功，使學(xué)者易知）

　　答曰：在斗四度七百分度之五百三十。

　　術(shù)曰（推朔夜半月度，新術(shù)不復(fù)加時(shí)日度，有定小余乃可用之）：以章歲減朔月行定分，余以乘朔日定小余，滿日法而一，為先行分。不盡者，半法已上收成一，已下者棄之。若先行分滿日行分而一，為度分，以減朔日夜半日所在度分，若度分不足減，加往宿度；其分不足減者，退一度為行分而減之，余即朔日夜半月行所在度及分也（凡入歷當(dāng)月行定分，即是月一日之行分。但此定分滿章歲而一，為度。凡日一日行一度。然則章歲者，即是日之一日行分也。今按：《九章·均輸篇》有犬追兔術(shù)，與此術(shù)相似。彼問(wèn)：犬走一百走，兔走七十步，令免先走七十五步，犬始追之，問(wèn)幾何步追及？答曰：二百五十步追及。彼術(shù)曰：以兔走減犬走，余者為法。又以犬走乘兔先走，為實(shí)。實(shí)如法而一，即得追及步數(shù)。此術(shù)亦然。何者？假令月行定分九千，章歲七百，即是日行七百分，月行九千分。令日月行數(shù)相減，余八千三百分者，是日先行之?dāng)?shù)。然月始追之，必用一日而相及也。令定小余者，亦是日月相及之日分。假令定小余一萬(wàn)，即相及定分，此乃無(wú)對(duì)為數(shù)。其日法者，亦是相及之分。此又同數(shù)，為有八千三百，是先行分也。斯則異矣。但用日法除之，即四千一百五十，即先行分。故以夜半之時(shí)日在月前、月在日后，以日月相去之?dāng)?shù)四千一百五十減日行所在度分，即月夜半所在度分也）。

　　假令太史造仰觀臺(tái)，上廣袤少，下廣袤多。上下廣差二丈，上下袤差四丈，上廣袤差三丈，高多上廣一十一丈，甲縣差一千四百一十八人，乙縣差三千二百二十二人，夏程人功常積七十五尺，限五日役臺(tái)畢。羨道從臺(tái)南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉(xiāng)，乙縣四十三鄉(xiāng)，每鄉(xiāng)別均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺(tái)，二縣鄉(xiāng)人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。臺(tái)自下基給高，道自初登給袤。問(wèn)：臺(tái)道廣、高、袤及縣別給高、廣、袤各幾何？

　　答曰：

　　臺(tái)高一十八丈

　　上廣七丈，

　　下廣九丈，

　　上袤一十丈，

　　下袤一十四丈；

　　甲縣給高四丈五尺，

　　上廣八丈五尺，

　　下廣九丈，

　　上袤一十三丈，

　　下袤一十四丈；

　　乙縣給高一十三丈五尺，

　　上廣七丈，

　　下廣八丈五尺，

　　上袤一十丈，

　　下袤一十三丈；

　　羨道高一十八丈，

　　上廣三丈六尺，

　　下廣二丈四尺，

　　袤一十四丈；

　　甲縣鄉(xiāng)人給高九丈，

　　上廣三丈，

　　下廣二丈四尺，

　　袤七丈；

　　乙縣鄉(xiāng)人給高九丈，

　　上廣三丈六尺，

　　下廣三丈，

　　袤七丈。

　　術(shù)曰：以程功尺數(shù)乘二縣人，又以限日乘之，為臺(tái)積。又以上下袤差乘上下廣差，三而一，為隅陽(yáng)冪。以乘截高，為隅陽(yáng)截積。又半上下廣差，乘斬上袤，為隅頭冪。以乘截高，為隅頭截積。并二積，以減臺(tái)積，余為實(shí)。以上下廣差并上下袤差，半之，為正數(shù)，加截上袤，以乘截高，所得增隅陽(yáng)冪加隅頭冪，為方法。又并截高及截上袤與正數(shù)，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即得上廣。各加差，得臺(tái)下廣及上下袤、高。

　　求均給積尺受廣袤，術(shù)曰：以程功尺數(shù)乘乙縣人，又以限日乘之，為乙積。三因之，又以高冪乘之，以上下廣差乘袤差而一，為實(shí)。又以臺(tái)高乘上廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺(tái)高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。又以上廣之高乘上袤之高，三之，為方法。又并兩高，三之，二而一，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即乙高。以減本高，余即甲高。此是從下給臺(tái)甲高。又以廣差乘乙高，以本高而一，所得加上廣，即甲上廣。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得加上袤，即甲上袤。其上廣、袤即乙下廣、袤，臺(tái)上廣、袤即乙上廣、袤。其后求廣、袤，有增損者，皆放此（此應(yīng)六因乙積，臺(tái)高再乘，上下廣差乘袤差而一。又以臺(tái)高乘上廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺(tái)高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。以上廣之高乘上袤之高，為小冪二。因下袤之高，為中冪一。凡下袤、下廣之高，即是截高與上袤與上廣之高相連并數(shù)。然此有中冪定有小冪一。又有上廣之高乘截高，為冪一。又下廣之高乘下袤之高，為大冪二。乘上袤之高為中冪一。其大冪之中又小冪一，復(fù)有上廣、上袤之高各乘截高，為中冪各一。又截高自乘，為冪一。其中冪之內(nèi)有小冪一。又上袤之高乘截高，為冪一。然則截高自相乘，為冪二，小冪六。又上廣、上袤之高各三，以乘截高，為冪六。令皆半之，故以三乘小冪。又上廣、上袤之高各三，令但半之，各得一又二分之一，故三之，二而一，諸冪乘截高為積尺）。

　　求羨道廣、袤、高，術(shù)曰：以均賦常積乘二縣五十六鄉(xiāng)，又六因，為積。又以道上廣多下廣數(shù)加上廣少袤，為下廣少袤。又以高多袤加下廣少袤，為下廣少高。以乘下廣少袤，為隅陽(yáng)冪。又以下廣少上廣乘之，為鱉隅積。以減積，余三而一，為實(shí)。并下廣少袤與下廣少高，以下廣少上廣乘之，鱉從橫廉冪。三而一，加隅冪，為方法。又以三除上廣多下廣，以下廣少袤、下廣少高加之，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即下廣。加廣差，即上廣。加袤多上廣于上廣，即袤。加高多袤，即道高。

　　求羨道均給積尺甲縣受廣、袤，術(shù)曰：以均賦常積乘甲縣上十三鄉(xiāng)，又六因，為積。以袤再乘之，以道上下廣差乘臺(tái)高為法而一，為實(shí)。又三因下廣，以袤乘之，如上下廣差而一，為都廉，從。開(kāi)立方除之，即甲袤。以廣差乘甲袤，本袤而一，以下廣加之，即甲上廣。又以臺(tái)高乘甲袤，本袤除之，即甲高。

　　假令筑堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少于西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多于東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬(wàn)六千六百七十七人，丙縣一萬(wàn)九千四百四十八人，丁縣一萬(wàn)二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人負(fù)土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步，上山三當(dāng)四，下山六當(dāng)五，水行一當(dāng)二，平道踟躕十加一，載輸一十四步。減計(jì)一人作功為均積。四縣共造，一日役華。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問(wèn)：給斜、正袤與高，及下廣，并每人一日自穿、運(yùn)、筑程功，及堤上、下高、廣各幾何？

　　答曰：

　　一人一日自穿、運(yùn)、筑程功四尺九寸六分；

　　西頭高三丈四尺一寸，

　　上廣八尺，

　　下廣七丈六尺二寸，

　　東頭高三尺一寸，

　　上廣八尺，

　　下廣一丈四尺二寸，

　　正袤四十八丈，

　　斜袤四十八丈一尺；

　　甲縣正袤一十九丈二尺，

　　斜袤一十九丈二尺四寸，

　　下廣三丈九尺，

　　高一丈五尺五寸；

　　乙縣正袤一十四丈四尺；

　　斜袤一十四丈四尺三寸，

　　下廣五丈七尺六寸，

　　高二丈四尺八寸；

　　丙縣正袤九丈六尺，

　　斜袤九丈六尺二寸，

　　下廣七尺，

　　高三丈一尺；

　　丁縣正袤四丈八尺，

　　斜袤四丈八尺一寸，

　　下廣七丈六尺二寸，

　　高三丈四尺一寸。

　　求人到程功運(yùn)筑積尺，術(shù)曰：置上山四十步，下山二十五步，渡水二十四步，平道一十一步，踟躕之間十加一，載輸一十四步，一返計(jì)一百二十四步。以古人負(fù)土二斗四升八合，平道行一百九十二步，以乘一日六十二到，為實(shí)。卻以一返步為法。除，得自運(yùn)土到數(shù)也。又以一到負(fù)土數(shù)乘之，卻以穿方一尺土數(shù)除之，得一人一日慶祝積。又以一人穿土九石九斗二升，以穿方一尺土數(shù)除之，為法。除之，得穿用人數(shù)。復(fù)置運(yùn)功積，以每人一日常積除之，得筑用人數(shù)。并之，得六人。共成二十九尺七寸六分，以六人除之，即一人程功也。

　　求堤上、下廣及高、袤，術(shù)曰：一人一日程功乘總?cè)耍瑸榈谭e。以高差乘下廣差，六而一，為鱉冪。又以高差乘小頭廣差，二而一，為大臥塹頭冪。又半高差，乘上廣多東頭高之?dāng)?shù)，為小臥塹頭冪。并三冪，為大小塹鱉率。乘正袤多小高之?dāng)?shù)，以減堤積，余為實(shí)。又置半高差及半小頭廣差與上廣多小頭高之?dāng)?shù)，并三差，以乘正袤多小頭高之?dāng)?shù)。以加率為方法。又并正袤多小頭高、上廣多小高及半高差，兼半小頭廣差加之，為廉法，從。開(kāi)方立除之，即小高。加差，即各得廣、袤、高。又正袤自乘，高差自乘，并，而開(kāi)方除之，即斜袤。

　　求甲縣高、廣、正、斜袤，術(shù)曰：以程功乘甲縣人，以六因取積，又乘袤冪。以下廣差乘高差為法除之，為實(shí)。又并小頭上下廣，以乘小高，三因之，為垣頭冪。又乘袤冪，如法而一，為垣方。又三因小頭下廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開(kāi)立方除之，得小頭袤，即甲袤。又以下廣差乘之，所得以正袤除之，所得加?xùn)|頭下廣，即甲廣。又以兩頭高差乘甲袤，以正袤除之，以加?xùn)|頭高，即甲高。又以甲袤自乘；以堤?hào)|頭高減甲高，余自乘，并二位，以開(kāi)方除之，即得斜袤。若求乙、丙、丁，各以本縣人功積尺，每以前大高、廣為后小高、主廉母自乘，為方母。廉母乘方母，為實(shí)母（此平堤在上，羨除在下。兩高之差即除高。其除兩邊各一鱉腝，中一塹堵。今以袤再乘六因積，廣差乘袤差而一，得截鱉腝袤，再自乘，為立方一。又塹堵袤自乘，為冪一。又三因小頭下廣，大袤乘之，廣差而一，與冪為高，故為廉法。又并小頭上下廣，又三之，以乘小頭高為頭冪，意同六除。然此頭冪，本乘截袤。又袤乘之，差相乘而一。今還依數(shù)乘除一頭冪，為從。開(kāi)立方除之，得截袤）。

　　求堤都積，術(shù)曰：置西頭高，倍之，加?xùn)|頭高，又并西頭上下廣，半而乘之。又置東頭高，倍之，加西頭高，又并東頭上下廣，半而乘之。并二位積，以正袤乘之，六而一，得堤積也。

　　假令筑龍尾堤，其堤從頭高、上闊以次低狹至尾。上廣多，下廣少，堤頭上下廣差六尺，下廣少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人，乙縣二千三百七十八人，丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分，一日役畢，三縣共筑。今從堤尾與甲縣，以次與乙、丙。問(wèn)：龍尾堤從頭至尾高、袤、廣及各縣別給高、袤、廣各多少。

　　答曰：

　　高三丈，

　　上廣三丈四尺，

　　下廣一丈八尺，

　　袤六丈六尺；

　　甲縣高一丈五尺，

　　袤三丈三尺，

　　上廣二丈一尺；

　　乙縣高二丈一尺，

　　袤一丈三尺二寸，

　　上廣二丈二尺二寸；

　　丙縣高三丈，袤一丈九尺八寸，

　　上廣二丈四尺。

　　求龍尾堤廣、袤、高，術(shù)曰：以程功乘總?cè)�，為堤積。又六因之，為虛積。以少高乘少袤，為隅冪。以少上廣乘之，為鱉隅積。以減虛積，余，三約之，所得為實(shí)。并少高、袤，以少上廣乘之，為鱉從橫廉冪。三而一，加隅冪，為方法。又三除少上廣，以少袤、少高加之，為廉法，從。開(kāi)立方除之，得下廣。加差，即高、廣、袤。

　　求逐縣均給積尺受廣、袤，術(shù)曰：以程功乘當(dāng)縣人，當(dāng)積尺。各六因積尺。又乘袤冪。廣差乘高，為法。除之，為實(shí)。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，為都廉，從。開(kāi)立方除之，即甲袤。以本高乘之，以本袤除之，即甲高。又以廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加末廣，即甲上廣。其甲上廣即乙末廣，其甲高即垣高。求實(shí)與都廉，如前。又并甲上下廣，三之，乘甲高，又乘袤冪，以法除之，得垣方，從。開(kāi)立方除之，即乙袤。余放此（此龍尾猶羨除也。其塹堵一，鱉腝一，并而相連。今以袤再乘積，廣差乘高而一，所得截鱉腝袤再自乘，為立方一。又塹堵袤自乘，為冪一。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，與冪為高，故為廉法）。

　　假令穿河，袤一里二百七十六步，下廣六步一尺二寸；北頭深一丈八尺六寸，上廣十二步二尺四寸；南頭深二百四十一尺八寸；上廣八十六步四尺八寸。運(yùn)土于河西岸造漘，北頭高二百二十三尺二寸，南頭無(wú)高，下廣四百六尺七寸五厘，袤與河同。甲郡二萬(wàn)二千三百二十人，乙郡六萬(wàn)八千七十六人，丙郡五萬(wàn)九千九百八十五人，丁郡三萬(wàn)七千九百四十四人。自穿、負(fù)、筑，各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北頭先給甲郡，以次與乙，合均賦積尺。問(wèn)：逐郡各給斜、正袤，上廣及深，并漘上廣各多少？

　　答曰：

　　漘上廣五丈八尺二寸一分；

　　甲郡正袤一百四十四丈，

　　斜袤一百四十四丈三尺，

　　上廣二十六丈四寸，

　　深一十一丈一尺六寸；

　　乙郡正袤一百一十五丈二尺，

　　斜袤一百一十五丈四尺四寸，

　　上廣四十丈九尺二寸，

　　深一十八丈六尺；

　　丙郡正袤五十七丈六尺，

　　斜袤五十七丈七尺二寸，

　　上廣四十八丈三尺六寸，

　　深二十二丈三尺二寸，

　　丁郡正袤二十八丈八尺，

　　斜袤二十八丈八尺六寸，

　　上廣五十二丈八寸，

　　深二十四丈一尺八寸。

　　術(shù)曰：如筑堤術(shù)入之（覆堤為河，彼注甚明，高深稍殊，程功是同，意可知也）。以程功乘甲郡人，又以限日乘之，四之，三而一，為積。又六因，以乘袤冪。以上廣差乘深差，為法。除之，為實(shí)。又并小頭上、下廣，以乘小頭深，三之，為垣頭冪。又乘袤冪，以法除之，為垣方。三因小頭上廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開(kāi)立方除之，即得小頭袤，為甲袤。求深、廣，以本袤及深廣差求之。以兩頭上廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭上廣，即甲上廣。以小頭深減南頭深，余以乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭深，即甲深。又正袤自乘，深差自乘，并，而開(kāi)方除之，即斜袤。若求乙、丙、丁，每以前大深、廣為后小深、廣，準(zhǔn)甲求之，即得。

　　求漘上廣，術(shù)曰：以程功乘總?cè)�，又以限日乘之，為積。六因之，為實(shí)。以正袤除之，又以高除之，所得以下廣減之，余又半之，即漘上廣。

　　假令四郡輸粟，斛法二尺五寸，一人作功為均。自上給甲，以次與乙。其甲郡輸粟三萬(wàn)八千七百四十五石六斗，乙郡輸粟三萬(wàn)四千九百五石六斗，丙郡輸粟，二萬(wàn)六千二百七十石四斗，丁郡輸粟一萬(wàn)四千七十八石四斗。四郡共穿窖，上袤多于上廣一丈，少于下袤三丈，多于深六丈，少于下廣一丈。各計(jì)粟多少，均出丁夫。自穿、負(fù)、筑，冬程人功常積一十二尺，一日役。問(wèn)：窖上下廣、袤、深，郡別出人及窖深、廣各多少？

　　答曰：

　　窖上廣八丈，

　　上袤九丈，

　　下廣一十丈，

　　下袤一十二丈，

　　深三丈；

　　甲郡八千七十二人，

　　深一十二尺，

　　下袤一十丈二尺，

　　廣八丈八尺；

　　乙郡七千二百七十二人，

　　深九尺，

　　下袤一十一丈一尺，

　　廣九丈四尺；

　　丙郡五千四百七十三人，

　　深六尺，下袤一十一丈七尺，

　　廣九丈八尺；

　　丁郡二千九百三十三人，

　　深三尺，

　　下袤一十二丈，

　　廣一十丈。

　　求窖深、廣、袤，術(shù)曰：以斛法乘總粟，為積尺。又廣差乘袤差，三而一，為隅陽(yáng)冪。乃置塹上廣，半廣差加之，以乘塹上袤，為隅頭冪。又半袤差，乘塹上廣，以隅陽(yáng)冪及隅頭冪加之，為方法。又置塹上袤及塹上廣，并之，為大廣。又并廣差及袤差，半之，以加大廣，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即深。各加差，即合所問(wèn)。

　　求均給積尺受廣、袤、深，術(shù)曰：如筑臺(tái)術(shù)入之。以斛法乘甲郡輸粟，為積尺。又三因，以深冪乘之，以廣差乘袤差而一，為實(shí)。深乘上廣，廣差而一，為上廣之高。深乘上袤，袤差而一，為上袤之高。上廣之高乘上袤之高，三之，為方法。又并兩高，三之，二而一，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即甲深。以袤差乘之，以本深除之，所加上袤，即甲下袤。以廣差乘之，本深除之，所得加上廣，即甲下廣。若求乙、丙、丁，每以前下廣、袤為后上廣、袤，以次皆準(zhǔn)此求之，即得。若求人數(shù)，各以程功約當(dāng)郡積尺。

　　假令亭倉(cāng)上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗。今已運(yùn)出五十石四斗。問(wèn)：倉(cāng)上下方、高及余粟深、上方各多少？

　　答曰：

　　上方三尺，

　　下方九尺，

　　高一丈二尺；

　　余粟深、上方俱六尺。

　　求倉(cāng)方、高，術(shù)曰：以斛法乘容粟，為積尺。又方差自乘，三而一，為隅陽(yáng)冪。以乘截高，以減積，余為實(shí)。又方差乘截高，加隅陽(yáng)冪，為方法。又置方差，加截高，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即上方。加差，即合所問(wèn)。

　　求余粟高及上方，術(shù)曰：以斛法乘出粟，三之，以乘高冪，令方差冪而一，為實(shí)（此是大、小高各自乘，各乘取高。是大高者，即是取高與小高并）。高乘上方，方差而一，為小高。令自乘，三之，為方法。三因小高，為廉法，從。開(kāi)立方除之，得取出高。以減本高，余即殘粟高。置出粟高，又以方差乘之，以本高除之，所得加上方，即余粟上方（此本術(shù)曰：上下方相乘，又各自乘，并以高乘之，三而一。今還元，三之，又高冪乘之，差冪而一，得大小高相乘，又各自乘之?dāng)?shù)。何者？若高乘下方，方差而一，得大高也。若高乘上方，方差而一，得小高也。然則斯本下方自乘，故須高自乘乘之，差自乘而一，即得大高自乘之?dāng)?shù)。小高亦然。凡大高者，即是取高與小高并相連。今大高自乘為大方。大方之內(nèi)即有取高自乘冪一，隅頭小高自乘冪一。又其兩邊各有以取高乘小高，為冪二。又大小高相乘，為中方。中方之內(nèi)即有小高乘取高冪一。又小高自乘，即是小方之冪又一。則小高乘大高，又各自乘三等冪，皆以乘取高為立積。故三因小冪為方，及三小高為廉也）。

　　假令芻甍上袤三丈，下袤九丈，廣六丈，高一十二丈。有甲縣六百三十二人，乙縣二百四十三人。夏程人功當(dāng)積三十六尺，限八日役。自穿筑，二縣共造。今甲縣先到。問(wèn)：自下給高、廣、袤、各多少？

　　答曰：

　　高四丈八尺，

　　上廣三丈六尺，

　　袤六丈六尺。

　　求甲縣均給積尺受廣、袤，術(shù)曰：以程功乘乙縣人數(shù)，又以限日乘之，為積尺。以六因之，又高冪乘之，又袤差乘廣而一，所得又半之，為實(shí)。高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。三因上袤之高，半之，為廉法，從。開(kāi)立方除之，得乙高。以減甍高，余即甲高。求廣、袤，依率求之（此乙積本倍下袤，上袤從之。以下廣及高乘之，六而一，為一甍積。今還元須六因之，以高冪乘之，為實(shí)。袤差乘廣而一，得取高自乘以乘三上袤之高，則三小高為廉法，各以取高為方。仍有取高為立方者二，故半之，為立方一。又須半廉法）。

　　假令圓囤上小下大，斛法二尺五寸，以率徑一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六斗。今已運(yùn)出二百六十六石四斗。問(wèn)：殘粟去口、上下周、高各多少？

　　答曰：

　　一周一丈八尺，

　　下周三丈，

　　高三丈六尺，

　　去口一丈八尺，

　　粟周二丈四尺。

　　求圓囤上下周及高，術(shù)曰：以斛法乘容粟，又三十六乘之，三而一，為方亭之積。又以周差自乘，三而一，為隅陽(yáng)冪。以乘截高，以減亭積，余為實(shí)。又周差乘截高，加隅陽(yáng)冪，為方法。又以周差加截高，為廉法，從。開(kāi)立方除之，得上周。加差，而合所問(wèn)。

　　求粟去口，術(shù)曰：以斛法乘出斛，三十六乘之，以乘高冪，如周差冪而一，為實(shí)。高乘上周，周差而一，為小高。令自乘，三之，為方法。三因小高，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即去口（三十六乘訖，即是截方亭，與前方窖不別）。置去口，以周差乘之，以本高除之，所得加上周，即粟周。

　　假令有粟二萬(wàn)三千一百二十斛七斗三升，欲作方倉(cāng)一，圓窖一，盛各滿中而粟適盡。令高、深等，使方面少于圓徑九寸，多于高二丈九尺八寸，率徑七，周二十二。問(wèn)：方、徑、深多少？

　　答曰：

　　倉(cāng)方四丈五尺三寸（容粟一萬(wàn)二千七百二十二斛九斗五升八合），

　　窖徑四丈六尺二寸（容粟一萬(wàn)三百九十七石七斗七升二合），

　　高與深各一丈五尺五寸。

　　求方、徑高深，術(shù)曰：十四乘斛法，以乘粟數(shù)，二十五而一，為實(shí)。又倍多加少，以乘少數(shù)，又十一乘之，二十五而一，多自乘加之，為方法。又倍少數(shù)，十一乘之，二十五而一，又倍多加之，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即高、深。各加差，即方徑（一十四乘斛法，以乘粟為積尺。前一十四馀，今還元，一十四乘。為徑自乘者，是一十一；方自乘者，是一十四。故并之為二十五。凡此方、圓二徑長(zhǎng)短不同，二徑各自乘為方，大小各別。然則此塹方二丈九尺八寸，塹徑三丈七寸，皆成方面。此應(yīng)塹方自乘，一十四乘之；塹徑自乘，一十一乘之，二十五而一，為隅冪，即方法也。但二隅冪皆以塹數(shù)為方面。今此術(shù)就省，倍小隅方，加差為矩袤，以差乘之為矩冪。一十一乘之，二十五而一。又差自乘之?dāng)?shù)，即是方圓之隅同有此數(shù)，若二十五乘之，還須二十五除。直以差自乘加之，故不復(fù)乘除。又須倍二廉之差，一十一乘之，二十五而一，倍差加之，為廉法，不復(fù)二十五乘除之也）。

　　還元，術(shù)曰：倉(cāng)方自乘，以高乘之，為實(shí)。圓徑自乘，以深乘之，一十一乘，一十四而一，為實(shí)。皆為斛法除之，即得容粟（斛法二尺五寸）。

　　假令有粟一萬(wàn)六千三百四十八石八斗，欲作方倉(cāng)四、圓窖三，令高、深等，方面少于圓徑一丈，多于高五尺，斛法二尺五寸，率徑七，周二十二。問(wèn)：方、高、徑多少？

　　答曰：

　　方一丈八尺，

　　高深一丈三尺，

　　圓徑二丈八尺。

　　術(shù)曰：以一十四乘斛法，以乘粟數(shù)，如八十九而一，為實(shí)。倍多加少，以乘少數(shù)，三十三乘之，八十九而一，多自乘加之，為方法。又倍少數(shù)，以三十三乘之，八十九而一，倍多加之，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即高、深。各加差，即方徑（一十四乘斛法，以乘粟，為徑自乘及方自乘數(shù)與前同。今方倉(cāng)四，即四因十四。圓窖三，即三因十一。并之，為八十九，而一。此塹徑一丈五尺，塹方五尺，以高為立方。自外意同前）。

　　假令有粟三千七十二石，欲作方倉(cāng)一、圓窖一，令徑與方等，方于窖深二尺，少于倉(cāng)高三尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問(wèn)：方、徑、高、深各多少？

　　答曰：

　　方、徑各一丈六尺，

　　高一丈九尺，

　　深一丈四尺。

　　術(shù)曰：三十五乘粟，二十五而一，為率。多自乘，以并多少乘之，以乘一十四，如二十五而一，所得以減率，余為實(shí)。并多少，以乘多，倍之，乘一十四，如二十五而一，多自乘加之，為方法。又并多少，以乘一十四，如二十五而一，加多加之，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即窖深。各加差，即方、徑、高（截高五尺，塹徑及方二尺，以深為立方。十四乘斛法，故三十五乘粟。多自乘并多少乘之，為截高隅積，即二廉，方各二尺，長(zhǎng)五尺。自外意旨皆與前同）。

　　假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圓窖各一，令口小底大，方面于圓徑等，兩深亦同，其深少于下方七尺，多于上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問(wèn)：方、徑、深各多少？

　　答曰：

　　上方、徑各七尺，

　　下方、徑各二丈八尺，

　　深各二丈一尺。

　　術(shù)曰：以四十二乘斛法，以乘粟，七十五而一，為方亭積。令方差自乘，三而一，為隅陽(yáng)冪，以截多乘之，減積，余為實(shí)。以多乘差，加冪，為方法。多加差，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即上方。加差，即合所問(wèn)（凡方亭，上下方相乘，又各自乘，并以乘高，為虛。命三而一，為方亭積。若圓亭上下徑相乘，又各自乘，并以乘高，為虛。又十一乘之，四十二而一，為圓亭積。今方、圓二積并在一處，故以四十二復(fù)乘之，即得圓虛十一，方虛十四，凡二十五，而一，得一虛之積。又三除虛積，為方亭實(shí)。乃依方亭復(fù)問(wèn)法，見(jiàn)上下方差及高差與積求上下方高術(shù)入之，故三乘，二十五而一）。

　　假令有粟二萬(wàn)六千三百四十二石四斗，欲作方窖六、圓窖四，令口小底大，方面與圓徑等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問(wèn)上下方、深數(shù)各多少？

　　答曰：

　　方窖上方七尺，

　　下方二丈八尺，

　　深二丈一尺，

　　圓窖上下徑、深與方窖同。

　　術(shù)曰：以四十二乘斛法，以乘粟，三百八十四而一，為方亭積尺。令方差自乘，三而一，為隅陽(yáng)冪。以多乘之，以減積，余為實(shí)。以多乘差，加冪，為方法。又以多加差，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即上方。加差，即合所問(wèn)（今以四十二乘。圓虛十一者四，方虛十四者六，合一百二十八虛，除之，為一虛之積。得者仍三而一，為方亭實(shí)積。乃依方亭見(jiàn)差復(fù)問(wèn)求之，故三乘，一百二十八除之）。

　　假令有句股相乘冪七百六十五分之一，弦多于句三十六十分之九。問(wèn)：三事各多少？

　　答曰：

　　句十四二十分之七，

　　股四十九五分之一，

　　弦五十一四分之一。

　　術(shù)曰：冪自乘，倍多數(shù)而一，為實(shí)。半多數(shù)，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即句。以弦多句加之，即弦。以句除冪，即股（句股相乘冪自乘，與句冪乘股冪積等。故以倍句弦差而一，得一句與半差之共乘句冪，為方。故半差為廉法，從，開(kāi)立方除之。按：此術(shù)原本不全，今依句股義擬補(bǔ)十三字）。

　　假令有句股相乘冪四千三十六五分之□，股少于弦六五分之一。問(wèn)：弦多少？（按：此問(wèn)原本缺二字，今依文補(bǔ)一股字，其股字上之□系所設(shè)分?jǐn)?shù)，未便懸擬，今姑闕之）。

　　答曰：弦一百一十四十分之七。

　　術(shù)曰：冪自乘，倍少數(shù)而一，為實(shí)。半少，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即股。加差，即弦。

　　假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。問(wèn)：股多少？

　　答曰：九十二五分之二。

　　術(shù)曰：冪自乘，倍多而一，為立冪。又多再自乘，半之，減立冪，余為實(shí)。又多數(shù)自乘，倍之，為方法。又置多數(shù)，五之，二而一，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即股（句弦相乘冪自乘，即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一，得一股與半差□□□□□為方令多再自乘半之為隅□□□□□橫虛二立廉□□□□□□□□□□□倍之為從隅□□□□□□□□□□□多為上廣即二多□□□□□□□□□法故五之二而一）。

　　案：此術(shù)脫簡(jiǎn)既多，法亦煩擾，宜云冪自乘，多數(shù)而一，所得四之，為實(shí)。多為廉法，從。立方開(kāi)之，得減差，半之，即股（冪自乘，與勾冪弦冪相乘積等。令勾冪變?yōu)楣上也⒊斯上也�，故差而一，所得乃股弦并乘弦冪）�?br>
　　假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少于弦五十四五分之二。問(wèn)：股多少？

　　答曰：六十八。

　　術(shù)曰：冪自乘，倍少數(shù)而一，為立冪。又少數(shù)再自乘，半之，以減立冪，余為實(shí)。又少數(shù)自乘，倍之，為方法。又置少數(shù)，五之，二而一，為廉法，從。開(kāi)立方除之，即句。加差，即弦。弦除冪，即股。

　　假令有股弦相乘冪七百二十六，句七、十分之七。問(wèn)：股多少？

　　答曰：股二十六五分之二。

　　術(shù)曰：冪自乘，為實(shí)。句自乘，為方法，從。開(kāi)方除之，所得又開(kāi)方，即股（□□□□□□□□□□□□□□數(shù)亦是股□□□□□□□□□□□□為長(zhǎng)以股□□□□□□□□□□□□得股冪又開(kāi)□□□□□□□□□□□股北分母�！�…）

　　假令有股十六二分之一，句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四。問(wèn)：句多少？

　　答曰：句八、五分之四。

　　術(shù)曰：冪自乘，為實(shí)。股自乘，為方法，從。開(kāi)方除之，所得又開(kāi)方，即句。 

緝古算經(jīng)跋

　　按《唐書(shū)·選舉志》制科之目，明算居一，其定制云：凡算學(xué)，孫子、五曹共限一歲，九章、海島共三歲，張邱建、夏侯陽(yáng)各一歲，周髀、五經(jīng)算共一歲，綴術(shù)四歲，緝古三歲，記遺三等數(shù)皆兼習(xí)之。竊惟數(shù)學(xué)為六藝之一，唐以取士共十經(jīng)。周髀家塾曾刊行之，余則世有不能舉其名者。扆半生求之，從太倉(cāng)王氏得孫子、五曹、張邱建、夏侯陽(yáng)四種，從章邱李氏得周髀、緝古二種，后從黃俞邰又得九章。皆元豐七年秘書(shū)省刊板，字書(shū)端楷，雕鏤精工，真世之寶也。每卷后有秘書(shū)省官銜姓名一幅，又一幅宰輔大臣，自司馬相公而下俱列名于后，用見(jiàn)當(dāng)時(shí)鄭重若此。因求善書(shū)者刻畫(huà)影摹，不爽毫末，什襲而藏之。但焉得海島、五經(jīng)、綴術(shù)三種，竟成完璧，并得好事者刊刻流布，俾數(shù)學(xué)不絕于世，所深愿也。

　　康熙甲子仲秋汲古后人毛扆謹(jǐn)識(shí) 

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